图1 复杂形状刀具几何模型

1 引言

钻头、螺旋槽立铣刀等复杂形状刀具的功能表面(如前刀面、后刀面等)往往具有球形螺旋面、变导程螺旋面等复杂形状。为满足刀具的设计要求，以圆锥球头立铣刀为代表的复杂形状刀具需要在数控工具磨床上实现数控磨削成形。

本文通过对复杂形状刀具几何角度和CNC磨削工艺的研究，提出一种新的游动坐标系刀位计算方法(简称新型游动坐标法)。应用该方法可方便地进行复杂形状刀具数控磨削的刀位计算，并可实现复杂形状刀具几何角度的精确磨削。

2 新型游动坐标系的建立

在数控磨削过程中，砂轮的空间位置(刀位)需由其中心位置(X，Y，Z)及姿态角(F，q)来确定。目前常用的刀位计算方法是以刀刃曲线及刀具法前角等设计参数作为控制砂轮运动的依据，根据磨削过程中满足刀具被磨削表面要求的砂轮与工件间的空间相对位置关系进行计算，同时综合考虑数控磨床的运动配置、运动参数以及计算过程的精确性和简洁性。

建立游动坐标系的刀位计算方法是目前较为有效的刀位计算方法，该方法是以刀刃线上的点作为原点建立游动坐标系，根据刀具的设计参数(如前角、后角、刀槽深度等)确定该点处砂轮与工件间的空间相对位置关系，即确定砂轮中心及其轴线向量在游动坐标系中的坐标，并结合机床的运动配置，经过一系列坐标变换得到砂轮在机床坐标系中的位置坐标及姿态，从而获得砂轮刀位。

建立一个合适的游动坐标系是应用该刀位计算方法的关键。在此游动坐标系中，必须能方便、准确地确定加工过程中砂轮的位置与姿态，以便简洁地计算出正确的刀位。同时，在加工过程中，此游动坐标系必须能光滑连续地变化，以保证加工出光滑的刀具特征表面。目前主要采用刃线在加工点C_i处的Frenet标架作为游动坐标系，即三个坐标轴分别为刃线在该点的切向量T_i、主法向量N_ci和副法向量B_ci。

在图1所示复杂形状刀具几何模型中，显示了回转曲面刀体S及刀体上刃线C，设C_i为正在加工的刃点。图中所示工件坐标系O_p-X_pY_pZ_p的原点O_p位于工件(即被加工刀具)的回转轴线上。在该坐标系中，刀具外形曲面可表示为

S(u，v)=｛x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)｝(u，v)∈D

(1)

曲面S上的曲线可表示为

C(t)= S( u(t)，v(t))=｛x(t)，y(t)，z (t)｝ t∈(t₀，t_n)

(2)

则C上任意点C_i可表示为

C(t_i)=｛x(t_i)，y(t_i)，z (t_i)｝( i = 0，1，2，…，n)

(3)

采用刃线在加工点C_i处的Frenet标架作为游动坐标系，则活动标架的数学表达式为

(4)

显然，建立这种游动坐标系时，仅考虑了空间刃形曲线的特征，并未涉及包容刃形曲线的刀具外形曲面特征。而在磨削过程中需保证的刀具几何角度不仅与刀刃曲线有关，同时也与刀具外形表面有关。复杂形状刀具的几何角度包括前角、后角、刃倾角等。前角在法剖面内测量(即法前角)；后角在端剖面(及主剖面)内测量；刃倾角由刀具刃形线决定。其中，前角对刀具切削性能影响最大，对加工要求也最高(一般具有等前角要求)；后角的主要作用是减小切削过程中刀具后刀面与加工表面间的摩擦，后角的大小同时影响刀刃强度及刀具耐用度。

设N_i为刀具外形曲面在C_i点的法向量，垂直于曲面在该点的切平面；对于空间回转曲面而言，通过C_i点、方向向量为N_i的直线必然与回转曲面的轴线相交。向量B_i为T_i与N_i的叉积。

根据切削刀具角度的定义，对于刀体为回转表面的复杂形状刀具，刀刃上一点C_i处的法前角和法后角在法剖面P_n内测量，法剖面P_n通过C_i点且垂直于切向量T_i，切削平面P_s为刀具外形表面在该点的切平面，P_s⊥N_i；基面P_r为点C_i与刀具轴线所确定的平面，因N_i所在直线与刀具轴线相交，因此N_i位于基面P_r内，且与P_s和P_r的交线重合。因此，C_i点刀刃的法前角g_n、法后角a_n分别为法剖面P_n内刀刃前刀面和第一后刀面的截形在刃点处的切线与N_i、B_i之间的夹角(见图1)。

由微分几何可知，一个空间曲面上一点的切平面只有一个，该切平面垂直于空间曲面在该点的主法向量N_i。对于回转面刀具，刀体表面上一点的切平面即为通过该点的切削平面。由于通过一条空间曲线上一点的切平面有一族，因此只有当刀具外形曲面为圆柱面时，Frenet标架所确定的从切平面(C_iT_iB_i坐标平面)才与切削平面重合。在此情况下，根据刀具角度来确定砂轮在游动坐标系中的姿态才是合理的，而对于其它回转表面(如锥面、球面等)的刀具，仅根据刀具角度来确定砂轮在游动坐标系中的姿态则并不合适。另一方面，为得到连续光滑的前刀面，首先必须保证加工过程中游动坐标系沿刀刃曲线运动的平滑性。由式(4)可知，Frenet标架沿刀刃曲线运动的平滑性条件为刃形曲线C必须具有二阶连续导数。而对于复杂形状刀具(如圆锥球头立铣刀)，由球头部分和圆锥部分的刃形曲线组成的空间曲线仅为一阶连续曲线，因此采用Frenet标架无法得到平滑变化的游动坐标系。可想而知，在这种坐标系中确定砂轮姿态而获得的加工结果是难以满足设计要求的。

由此可见，采用刃线的Frenet标架作为游动坐标系具有一定局限性，并不适合外形曲面为非圆柱面及组合表面的回转表面复杂形状刀具的加工。

针对这种情况，在加工复杂形状刀具时，应综合考虑刀具外形曲面和刃形曲线的特征，建立一种新型游动坐标系。

根据上述分析，遵循加工基准与测量基准一致的原则，可选取基面P_r、切削平面P_s及法剖面P_n作为游动坐标系的三个坐标平面。由于这三个平面的交线分别与向量T_i、N_i和B_i重合，因此向量T_i、N_i和B_i即为游动坐标系的三个坐标轴(坐标轴方向见图1)，其数学表达式为

(5)

式(5)表示的新型游动坐标系具有以下特点：

可精确保证刀具角度的设计要求。由于加工基准与测量基准一致，游动坐标系的三个坐标平面即为测量刀具角度的测量平面和辅助平面，砂轮在游动坐标系中的位置及姿态可由刀具几何角度和其它设计参数直接确定，在加工过程中不发生干涉或干涉区域不影响刀刃邻域的前提下，被加工刀具的几何角度可完全满足设计要求。
具有很好的连续性。由式(5)可知，只要刃形曲线和刀具外形表面具有一阶连续偏导数，则游动坐标系的变化便是连续的。

3 砂轮在活动标架中的位置及姿态

在数控磨削过程中，砂轮的位置及姿态可通过其轴线上某一固定点G(如砂轮一个端面的圆心)和砂轮轴单位向量I来确定。为此，必须首先确定砂轮在游动坐标系中的位置及姿态，即砂轮轮心和砂轮轴单位矢量I在游动坐标系中的数学表达式。设砂轮在活动标架中的位置与姿态表达式为

g=g_{T_i}T_i+g_{N_i}N_i+g_{B_i}B_iI=I_{T_i}T_i+I_{N_i}N_i+I_{B_i}BB_i

(6)

确定砂轮在活动标架中的位置及姿态需考虑以下几方面因素：

磨削方式：主要指选用何种形式的砂轮以及用砂轮上哪一个(或几个)表面进行磨削加工。复杂形状刀具数控磨削所采用的砂轮形状一般有圆柱形、碟形、碗形等，且同一种砂轮在不同磨削方式中用于磨削加工的表面也不同(如采用碟形砂轮时可选择其锥面或砂轮周边进行磨削)。因此，采用不同磨削方式将直接影响磨削过程中的砂轮姿态。
刀具参数：影响磨削过程中砂轮姿态的刀具参数包括刀具的结构参数(刀齿、刀槽等的形状及尺寸)和几何角度(前角、后角等)，这些参数在刀具设计时提出，是确定磨削过程中砂轮姿态的重要参数。
不发生干涉的条件：在复杂形状刀具的数控磨削过程中，刀具的功能表面是由砂轮按特定轨迹运动所形成的包络面。由于砂轮尺寸远大于被加工刀具尺寸，磨削加工表面(如刀具的沟槽、棱角等)的尺寸则更小，因此在磨削过程中往往会出现砂轮磨削表面与刀具加工表面之间、砂轮非磨削表面与刀具相邻刀齿之间的干涉现象。为避免干涉发生，需对磨削过程中砂轮的姿态作一定的调整。

4 刀位计算过程

砂轮在游动坐标系中的位置及姿态确定后，根据机床的运动配置，可按以下步骤进行刀位计算：

将在活动标架C_i-T_iN_iB_i中砂轮轮心G和砂轮轴单位向量I的坐标转化为工件坐标系O_p-X_pY_pZ_p中的坐标，即

g=g_{T_i}T_i+g_{N_i}N_i+g_{B_i}B_i = g_xpX_p+g_ypY_p+g_zpZ_pI=I_{T_i}T_i+I_{N_i}N_i+I_{B_i}B_i=I_xpX_p+I_ypY_p+I_zpZ_p(g_xp，g_yp，g_zp)=(g_{T_i}，g_{N_i}，g_{B_i})R+C_i(I_xp，I_yp，I_zp)=(I_{t_i}，I_{n_i}，I_{B_i})R

(7)

式中，C_i为刃点C_i在工件坐标系中的向量表示，其转换矩阵为

R=	[	T_{x_i}	T_{y_i}	T_{z_i}	]
		N_{x_i}	N_{y_i}	N_{z_i}
		B_{x_i}	B_{y_i}	B_{z_i}

图2 刀体刃线上各点的新型游动标架
图3 刀体刃线上各点的Frenet标架
图4 砂轮在游动坐标系中的位置及姿态

(a)	(b)
图5 仿真加工及实际磨削效果

旋转工件及其坐标系O_p-X_pY_pZ_p，使砂轮轴单位向量I 与机床砂轮轴平行，并计算出旋转角度fRT_{c_i}及工件坐标系O_p-X_pY_pZ_p旋转后G点在机床坐标系O_p-XYZ中的坐标值：

(g_{x_i}，g_{y_i}，g_{z_i})=(g_xp，g_yp，g_zp)M (8)
式中，M为工件坐标系旋转变换矩阵，与机床的运动配置有关。
在机床坐标系O_p-XYZ中，砂轮上G₀点坐标值与G点坐标值的差值即为机床各直线轴在加工C_i点时移动的绝对值。
机床旋转轴的旋转角度为

RT=fRT_{c_i} (9)
式中，RT表示机床的某个旋转轴(如轴A、B、C等)。
机床各直线运动轴的绝对位移为

{ X=g_{x_i}-g_{0_x}Y=g_{y_i}-g_{0_y}Z=g_{z_i}-g_{0_z}
(10)

机床各运动轴移动的相对位移值为在加工点C_i及前一刃点时所分别得到的G点在机床坐标系O_p-XYZ中的坐标值之差。